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Attention : comptez une minute lors du 1ère chargement de cette page en ADSL 512. Elle sera chargée quand le dessin de la figure sera affiché dans la première applet TracenPoche ci-après. Cela vous laisse le temps de lire l’introduction.

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L’objet « intersection de 2 objets » est un outil fondamental en géométrie dynamique. Par exemple, il permet de construire des objets dont l’existence est conditionnée à l’aide de curseurs...

Cet objet est à la fois simple et complexe.

Simple car on se représente facilement l’intersection de 2 objets du plan. Complexe car ce n’est pas si facile que ça de définir (et calculer) la ou les positons d’une intersection de 2 objets.

Ainsi, l’intersection de 2 lignes droites (droite, segment, demi-droite) est facile car elle est unique quand elle existe. Les cas d’existence sont déjà nombreux pour ce type d’intersection : outre le parallélisme, intervient la condition d’appartenance d’un point à une droite, à un segment ou à une demi-droite.

L’intersection de 2 lignes dont l’une est un cercle ou un arc est difficile : il y a au plus 2 points dans cette intersection. Leur position n’est pas trop difficile à déterminer mais on est obligé d’introduire un ordre lors de ce calcul : il y a un 1er point calculé et un 2nd point calculé.

Quand on dit "M est un point d’intersection du cercle C et de la droite (d)", de quel point s’agit-il ? le "1er" ou le "2nd" visible ? Il faut bien faire un choix, puis se demander ensuite si ce choix ne conditionne pas certaines configurations au détriment d’autres. Faire ce choix, consiste au niveau logiciel à donner l’indication du n° du point, 1 ou 2, dans l’instruction Intersection :

M=intersection(C,d,1) ;

ou

M=intersection(C,d,2) ;

Voici alors quelques petites situations qui posent problèmes et où on voit qu’il a été nécessaire d’introduire une façon supplémentaire de construire/décrire une intersection : «  l’intersection qui n’est pas un point existant  ».

1- La 1ère intersection existe déjà, on veut construire la seconde

On voit bien qu’ici on veut un point Q qui ne soit pas en P. Or en bougeant M, on arrive à cela : P est déjà un point d’intersection du cercle et de la droite donc Q peut prendre sa position.

Donc donner le numéro du point calculé par TeP ne suffit pas.

On a donc introduit une syntaxe proche mais qui permet d’exclure une position.

Q=intersection(dMN,ceAP,P) ;

Q est le point d’intersection de la droite et du cercle, qui évite la position du point P (on dira évite le point P).

 

2- Le problème d’échange des positions des 2 points d’intersection

Tel quel, on ne peut pas échapper au cas où Q et R échangeront leurs positions quand on bouge M ou N sur la droite. Il faut revoir la construction même de la figure, et notamment ne pas évacuer le P en le masquant.

Ainsi R sera toujours le second point d’intersection, autre que P.

 

3- Un symétrique construit avec 2 cercles qui se coupent.

Quand A passe de l’autre côté de l’axe, son "symétrique" n’est plus correctement défini : il reste collé à A.

Il suffit de changer les définitions des 2 intersections C et A’

C ne doit pas être en M et A’ ne doit pas être en A.

 

4- Un losange mal foutu

Qaund A passe de l’autre côté de (BC), ou quand B et C échangent leurs position ... le losange devient triangle : A et D sont confondus.

Il faut redéfinir les intersections et le polygone :

On a redéfini le polygone à partir de D (à la place de A !) et D2 (maintenant opposé à A) De même pour le segment [AD] qui devient [D2D]